فرایند تحلیل سلسله مراتبی

AHP

فرایند تحلیل سلسله مراتبی

پیشگفتار

   یکی از کارآمد ترین تکنیک های تصمیم گیری فرایند تحلیل سلسله مراتبی (Analytical Hierarchy process-AHP) که اولین بار توسط توماس ال ساعتی در 1980 مطرح شد . که بر اساس مقایسه های زوجی بنا نهاده شده و امکان بررسی سناریوهای مختلف را به مدیران می دهد .

انواع حالت های تصمیم گیری

اصول فرایند تحلیل سلسله مراتبی

اصل 1. شرط معکوسی  (Reciprocal Condition)

اصل 2. همگنی           (Homogeneity)

اصل 3. وابستگی          (Dependency)

اصل 4. انتظارات        (Expectation)

شرط معکوسی

  اگرترجیح عنصر A بر عنصر B برابر n باشد ترجیح عنصر B بر عنصر A برابر n/1خواهد بود .

 

                                  همگنی

  عنصر A با عنصر B باید همگن و قابل قیاس باشند . به بیان دیگر برتری عنصر A بر عنصر B نمی تواند بی نهایت یا صفر باشد.

   وابستگی

  هر عنصر سلسله مراتبی به عنصر سطح بالاتر خود می تواند وابسته باشد وبه صورت خطی این وابستگی تا بالاترین سطح می تواند ادامه داشته باشد.

 انتظارات

  هر گاه تغییر در ساختمان سلسله مراتبی رخ دهد پروسه ارزیابی باید مجددا انجام گیرد.

فرایند تحلیل سلسله مراتبی در یک نگاه

ساخت سلسله مراتبی

مقایسه های زوجی

ترکیب وزنها

تحلیل حساسیت

روش رتبه بندی

 مثال

 تصور کنید که از بین سه اتومبیل A,B,C یکی را انتخاب کنیم چهار معیار:راحتی ، قیمت ، مصرف سوخت، مدل مطرح می باشد .حل این مثال را طی قدمهای زیر تشریح می کنیم:

ساختن سلسله مراتبی

محاسبه وزن

سازگاری سیستم

 ساختن سلسله مراتبی 

محاسبه وزن

محاسبه وزن نسبی اتومبیل ها از نظر راحتی

قدم اول: مقادیر هر یک از ستون ها را با هم جمع می کنیم.

قدم دوم: تقسیم هر عنصر از ماتریس به جمع کل ستون همان عنصر
( نرمالایزکردن)

قدم سوم : محاسبه متوسط عناصر در هر سطر

ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به       

ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به       

ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به       

وزن اتومبیل ها برای معیار های          ،           و   

ماتریس مقایسه زوجی معیارها

وزن هر یک از معیارها

0.398              قیمت

0.085             مصرف                

0.218              راحتی

0.299               مدل

وزن اتومبیل ها نسبت به معیارها

محاسبه وزن نهائی اتومبیل

 وزن نهائی اتومبیل A

0.398*0.123+0.085*0.087+0.218*0.593+0.299*0.265=0.265    

 وزن نهائی اتومبیل B

          0.398*0.320+0.085*0.274+0.218*0.341+0.299*0.655=0.421    

 وزن نهائی اتومبیل C

              0.398*0.557+0.085*0.639+0.218*0.066+0.299*0.080=0.314

اولویت نهائی اتومبیل ها

ساختن سلسله مراتبی

    سلسله مراتبی یک نمایش گرافیکی از مساله پیچیده واقعی می باشد که       در راس آن هدف کلی مساله و در سطوح بعدی معیار ها و گزینه ها قرار     دارند ، هر چند یک قاعده ثابت و قطعی برای رسم سلسله مراتبی وجود   ندارد . سلسله مراتبی  ممکن است به یکی از صورت های زیر باشد :

            هدف  _  معیارها  _  زیر معیار ها  _ گزینه ها

           هدف  _  معیارها  _  عوامل  _  زیر عوامل  _ گزینه ها

 یک نمونه کلی از ساختمان سلسله مراتبی

سلسله مراتبی انتخاب یک مدرسه

آموزشهای جانبی  : L  آمادگی برای دانشگاه :K  نظم :V  استاندارد کلی دانش آموزان :F   کیفیت آموزشی:S

محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی

محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی در دو قسمت جداگانه زیر مورد بحث قرار می گیرد:

 وزن نسبی ( local priority  (

روشهای محاسبه وزن نسبی

( least squares method ) روش حداقل مربعات

 یا  i وj  در حالت ناسازگاری (حداقل برای یکبرای حل مساله فوق ، معادله لاگرانژی آن به صورت زیر در نظرگرفته می شود.

اگر رابطه برای یکی از i,j,k ها برقرار نباشد ماتریس ناسازگار خواهد بود.

روش حداقل مربعات لگاریتمی
 (logarithmic least squares method)               

)Eigenvector Method روش بردار ویژه (

 ام طبق تعریف قبل برابر است با:i وزن عنصر

مثال

برای ماتریس زیر، بردار و مقدار ویژه را محاسبه می کنیم.

که خواهیم داشت:

در روش بردار ویژه برای محاسبه وزنها ، طبق مراحل زیر عمل می کنیم:

مثال

اگر ماتریس مقایسه زوجی به صورت زیر باشد وزن معیارها را با استفاده از روش بردار ویژه بدست می آوریم .

 

بعد از حل معادله قبل،                       محاسبه می گردد. معادله ماتریسی

                                 را تشکیل داده و      ها را محاسبه می کنیم.

معادله                         را به دستگاه فوق اضافه می کنیم. نتیجه زیر حاصل می شود 

قضیه:

برای یک ماتریس مثبت و معکوس ، همچون ماتریس مقایسه زوجی ، بردار ویژه را می توان از رابطه زیر بدست آورد.

 که در آن                          می باشد.

  بتدا            را محاسبه می کنیم. بطور مثال برای k =1 داریم:

حال حاصل عبارت                 را محاسبه می نماییم:

مثال

اگر ماتریس مقایسه زوجی برای چهار عنصربه صورت زیر باشد:

 محاسبه ون عناصر با استفاده از قضیه قبل به صورت زیر است:

حل:

در تکرار اول داریم:=  بردار حاصل از جمع سطری ماتریس A

در تکرار دوم داریم:

 

بنابر این خواهیم داشت:

مقدار نهایی W در تکرارسوم و چهارم و پنجم به صورت زیر است:

)Approximation Method( روشهای تقریبی

مثال

ماتریس مقایسه زوجی زیر در دست است. با چهار روش ذکر شده بردار وزن را محاسبه می کنیم.

مجموع سطری:

مجموع ستونی:

میانگین حسابی:

میانگین هندسی:

محاسبه وزن نهایی

وزن نهایی هر گزینه در یک فرایند سلسله مراتبی از مجموع حاصلضرب اهمیت معیارها در وزن گزینه ها بدست می آید.

مثال

   مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به اسامی XوY یکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از:  قابلیت رهبری  و هدایت(L)  تواناییهای شخصی(P) وتواناییهای اداری(A) ماتریسهای مقایسه زوجی  زیر در این مورد بدست آمده اند.

حل:

ابتدا سلسله مراتب مربوطه را رسم می کنیم.

محاسبه وزن

یعنی داریم:

محاسبه وزن نهایی:

توجه داشته باشید که                    بنابر این گزینه یا شخص Y انتخاب می گردد.   

محاسبه نرخ ناسازگاری:

ماتریس سازگار و خصوصیات آن

ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن

الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس

ن خواهیم داشت:

هر ماتریس سازگار دارای خصوصیات زیر است :

ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن

قضیه یک – اگر                   مقادیر ویژه ماتریس مقایسه زوجی A باشد مجموع مقادیر آنها برابر n است :

 قضیه دو – بزرگترین مقدار ویژه         همواره بزرگتر یا مساوی n

است (در این صورت برخی از    ها منفی خواهند بود .)

 قضیه سه – اگر عناصر ماتریس مقدار کمی از حالت سازگاری فاصله بگیرد ، مقدار ویژه آن نیز مقدار کمی از حالت سازگاری خود فاصله خواهد گرفت . 

 که در آن              به ترتیب بردار ویژه و مقدار ویژه ماتریس A  می باشد .یک مقدار ویژه برابر n بوده (بزرگترین مقدار ویژه ) و بقیه آنها برابر صفر هستند .بنابراین در این حالت می توان نوشت :

 در حالتی که ماتریس مقایسه زوجی A ناسازگار باشد طبق قضیه 3 ،

  کمی از n فاصله می گیرد که می توان نو شت :

گوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس

1. ماتریس مقایسه زوجی A را تشکیل دهید.

2. بردار وزن W را مشخص نمایید .

3. آیا بزرگترین مقدار ویژه ماتریس A (یعنی           مشخص است ؟ اگر پاسخ مثبت است به قدم چهارم بروید . در غیر این صورت با توجه به قدم های زیر مقدار آن راتخمین بزنید :

     1-3- با ضرب بردار W در ماتریس A تخمین مناسبی            ازبه دست آورید 

    2-3- با تقسیم مقادیر به دست آمده برای                برW  مربوطه تخمین هایی از             را محاسبه نمایید .

    3-3- متوسط          به دست آمده را پیدا کنید .

4 . مقدار شاخص ناسازگاری را از رابطه زیر محاسبه می کنیم:

 5. نرخ ناسازگاری را از فرمول زیر به دست آورید :

 مثال

برای ماتریس مقایسه زوجی زیر نرخ ناسازگاری را محاسبه کنید .

حل

قدم 1و2: با استفاده از روش میانگین حسابی داریم :

 قدم3: از آنجا که مقدار      مشخص نمی باشد ، باید آن را طبق قدم های زیر تخمین بزنیم .

     قدم 3-1- تخمین

     قدم 3-2- محاسبه       ها

         قدم 3-3-محاسبه میانگین          ها

   قدم 4: محاسبه شاخص ناسازگاری

    نرخ ناسازگاری این ماتریس برابر 0.017 است که کمتر از 0.1 بوده بنابراین سازگاری آن مورد قبول می باشد .

 الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی

    برای محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی شاخص ناسازگاری هر ماتریس       را در وزن عنصر مربوطه اش ضرب نموده و حاصل جمع آنها را به دست می آوریم . این حاصل جمع را      می نامیم . همچنین وزن عناصر را درماتریس های مربوطه ضرب کرده و مجموعشان رانامگذاری می کنیم . حاصل تقسیم

نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را می دهد .

مثال

   مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به اسامی XوY یکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از:  قابلیت رهبری  و هدایت(L)  تواناییهای شخصی(P) وتواناییهای اداری(A) ماتریسهای مقایسه زوجی  زیر در این مورد بدست آمده اند.

 در این مثال نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را محاسبه می نماییم :

 با به کارگیری روش میانگین حسابی وزن های محلی عبارتنداز:

وزن های نهایی هر کدام از این گزینه ها برابر است با :

 رای ماتریس      داریم :

THE END

واژه های مرتبط: ایزو، گواهینامه ایزو ، استاندارد ایزو ، شرکت گواهی دهنده ایزو ، مشاوره ایزو ، مشاور ایزو، اخذ ایزو،ایزو 9001 ، الزامات ایزو